Apprendre, c'est comprendre.

QCalculer \(\displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{t}\).

1. Une réponse tentante

   0pas tout à fait

   Numérateur et dénominateur tendent vers 0 : forme indéterminée.

2. Indice 1 sur 2

   Pose \(u = \arctan t\). Alors \(t = \tan u\), et quand \(t \to 0\), \(u \to \dots\)

3. Indice 2 sur 2

   \(\dfrac{\arctan t}{t} = \dfrac{u}{\tan u}\).

4. La correction, étape par étape

   Posons \(u = \arctan t\), donc \(t = \tan u\). Pour \(t \neq 0\) : \(\dfrac{\arctan t}{t} = \dfrac{u}{\tan u}\).

   \(\arctan\) est continue en \(0\) et \(\arctan 0 = 0\) : quand \(t \to 0\), \(u \to 0\) (avec \(u \neq 0\)).

   Or \(\displaystyle\lim_{u \to 0} \frac{\tan u}{u} = 1\), donc \(\displaystyle\lim_{u \to 0} \frac{u}{\tan u} = 1\).

   Par composition : \(\displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{t} = 1\).