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Première année de licence · semestre 1

Algèbre 2 — Polynômes et fractions rationnelles

Les polynômes ressemblent aux entiers : on les divise avec reste, ils ont un PGCD que l'on calcule par l'algorithme d'Euclide, une identité de Bézout, et des « nombres premiers » - les polynômes irréductibles. Si tu as fait l'arithmétique d'Algèbre 1, tu reconnaîtras chaque idée ; ce cours la transpose, en montrant ce qui change.

La seconde moitié porte sur les fractions rationnelles, et sur leur décomposition en éléments simples : une technique de calcul que tu utiliseras pour intégrer, pour sommer des séries, et que l'épreuve demande presque à chaque session. On apprend d'abord à écrire la forme de la décomposition (ce que l'épreuve demande parfois seule), puis à calculer les coefficients par des méthodes qui évitent les grands systèmes.

Modules
9
Leçons
26
Durée
~14 heures

Construit à partir des séries de TD et des épreuves d'Algèbre 2 (MI, S1, 2025-2026) de la Faculté des Sciences de Kénitra. Understand est indépendant de la faculté.

Commencer

Ce que tu sauras faire

  • Effectuer une division euclidienne et une division suivant les puissances croissantes
  • Calculer un PGCD de polynômes et une relation de Bézout par l'algorithme d'Euclide étendu
  • Déterminer l'ordre de multiplicité d'une racine avec les dérivées
  • Factoriser un polynôme en irréductibles de C[X] et de R[X]
  • Écrire la forme de la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle
  • Calculer les coefficients d'une décomposition et l'utiliser pour une somme télescopique

Pour qui

Les étudiants de première année du tronc commun mathématiques-informatique (MI) des facultés des sciences. Le périmètre suit le module d'Algèbre 2 du semestre 1 de la Faculté des Sciences de Kénitra, tel que le montrent ses trois séries de TD 2025-2026 et ses deux épreuves (normale et rattrapage). Le polycopié de cours de ce module ne fait pas partie des documents d'Understand : les définitions suivent l'usage standard.

Ce qu'il te faut

Les nombres complexes du baccalauréat (forme exponentielle, racines n-ièmes de l'unité) et la division euclidienne dans les entiers. L'arithmétique d'Algèbre 1 aide mais n'est pas exigée.

Programme

Partie I — PolynômesDivision, PGCD, Bézout, racines, factorisation. 5 modules · 15 leçons
  1. 1 Polynômes et degréCe qu'est K[X], le degré d'une somme et d'un produit - et pourquoi X est une lettre, pas un nombre.
  2. 2 Division euclidienne et division suivant les puissances croissantesDeux divisions, deux usages - la première pour l'arithmétique, la seconde pour les développements et les fractions.
  3. 3 PGCD et Bézout dans K[X]L'algorithme d'Euclide, transposé aux polynômes - et le PGCD que l'on choisit unitaire.
  4. 4 Racines et multiplicitéa est racine si X − a divise P ; son ordre de multiplicité se lit sur les dérivées.
  5. 5 Irréductibles et factorisation dans C[X] et R[X]Dans C[X], tout se factorise en degré 1 ; dans R[X], il reste des facteurs de degré 2 sans racine réelle.
Partie II — Fractions rationnellesPartie entière, pôles, décomposition en éléments simples, applications. 3 modules · 8 leçons
  1. 6 Fractions rationnelles - la forme de la décompositionPartie entière, pôles, et ce qu'on écrit avant de calculer le moindre coefficient.
  2. 7 Calculer les coefficientsMultiplier et évaluer, dériver ou passer à la limite - sans résoudre de grand système.
  3. 8 Une application - les sommes télescopiquesDécomposer pour que la somme se simplifie terme à terme.
Partie III — Préparer l'épreuveTD cumulatif et deux sujets blancs. 1 module · 3 leçons
  1. 9 Préparer l'épreuveUn TD cumulatif, puis deux sujets blancs au format des épreuves normale et de rattrapage 2025-2026.