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Première année de licence · semestre 1

Algèbre 1 — Logique, ensembles et arithmétique dans Z

Au lycée, on te demandait surtout de calculer. À la faculté, dès la première semaine de TD, on te demande de démontrer : nier une phrase qui contient trois quantificateurs, prouver une inclusion d'ensembles, établir qu'une relation est d'équivalence, trouver le PGCD de deux nombres à 2026 chiffres.

Ce cours prend ce saut au sérieux. Chaque notion part du problème qu'elle résout. Chaque définition est démontée morceau par morceau avant d'être utilisée. Chaque méthode de démonstration vient avec les signes qui disent quand l'employer. Et chaque exercice des séries de TD est travaillé - d'abord avec toi, étape par étape, puis seul.

La deuxième moitié est l'arithmétique dans Z : division euclidienne, PGCD, Bézout, nombres premiers, congruences, Fermat et Euler. On y retrouve les questions d'examen typiques - un reste de division, les derniers chiffres d'une grande puissance, un système de congruences - traitées à la main, comme à l'épreuve.

Modules
17
Leçons
85
Durée
~38 heures

Construit à partir du cours, des séries de TD et de l'épreuve d'Algèbre 1 (MI, S1) de la Faculté des Sciences de Kénitra. Understand est indépendant de la faculté.

Commencer

Ce que tu sauras faire

  • Écrire une définition avec des quantificateurs, et nier n'importe quelle phrase quantifiée
  • Choisir entre démonstration directe, contraposée, absurde, contre-exemple, disjonction de cas et récurrence
  • Démontrer une égalité ou une inclusion d'ensembles
  • Démontrer qu'une application est injective, surjective ou bijective - ou qu'elle ne l'est pas
  • Reconnaître une relation d'équivalence ou d'ordre et décrire ses classes, majorants et minorants
  • Compter avec les coefficients binomiaux et la formule du binôme
  • Calculer un PGCD et des coefficients de Bézout avec l'algorithme d'Euclide étendu
  • Résoudre une équation ax + by = c dans Z
  • Calculer un reste ou les derniers chiffres d'une grande puissance avec les congruences, Fermat et Euler
  • Résoudre un système de congruences

Pour qui

Les étudiants de première année de licence de mathématiques et d'informatique (tronc commun MI) des facultés des sciences. Le périmètre suit le module d'Algèbre 1 du semestre 1 de la Faculté des Sciences de Kénitra, tel que le montrent son polycopié de cours, ses séries de TD 2025-2026 et son épreuve de 2025-2026. D'autres facultés enseignent un module très proche ; l'ordre des chapitres et les notations peuvent y différer.

Ce qu'il te faut

Le programme de mathématiques du baccalauréat scientifique : calcul algébrique, sommes, suites, raisonnement par récurrence. Si tu viens d'une filière où l'arithmétique n'était pas au programme, rien n'est supposé : tout est repris depuis la division euclidienne.

Programme

Partie I — Logique et raisonnementsPropositions, quantificateurs, méthodes de démonstration, récurrence. 4 modules · 23 leçons
  1. 1 Propositions et connecteursVrai, faux, et, ou, non, implique - la grammaire de toutes les démonstrations.
  2. 2 QuantificateursPour tout, il existe - lire une définition, l'écrire, la nier.
  3. 3 Méthodes de démonstrationDirect, cas par cas, contraposée, absurde, contre-exemple, analyse-synthèse - et comment choisir.
  4. 4 Raisonnement par récurrenceDémontrer une infinité d'énoncés en deux étapes - et rédiger sans trou.
Partie II — Ensembles et applicationsInclusions, opérations, images directes et réciproques, injections, surjections, bijections. 3 modules · 15 leçons
  1. 5 EnsemblesInclusion, opérations, ensemble des parties, produit cartésien - et le geste de base, la double inclusion.
  2. 6 Applications, images directes et réciproquesCe que f fait aux parties - et pourquoi f⁻¹(f(A)) peut être plus grand que A.
  3. 7 Injections, surjections, bijectionsDeux propriétés, leurs négations, leurs gabarits de preuve - et ce qu'elles deviennent par composition.
Partie III — RelationsRelations d'équivalence et classes, relations d'ordre et bornes. 2 modules · 7 leçons
  1. 8 Relations d'équivalenceRéflexive, symétrique, transitive - et les classes, qui découpent l'ensemble en morceaux.
  2. 9 Relations d'ordreComparer sans forcément pouvoir tout comparer - majorants, minorants, plus grand et plus petit élément.
Partie IV — DénombrementEnsembles finis, coefficients binomiaux, formule du binôme. 1 module · 5 leçons
  1. 10 Dénombrement et formule du binômeCompter des applications et des parties, les coefficients binomiaux, et les sommes qu'on en tire.
Partie V — Arithmétique dans ZDivision euclidienne, PGCD, Bézout, nombres premiers, congruences, Fermat, Euler, systèmes. 6 modules · 28 leçons
  1. 11 Divisibilité et division euclidienneDiviser dans Z, y compris des négatifs - et prouver qu'une expression est toujours divisible par 24.
  2. 12 PGCD et algorithme d'EuclideLe plus grand diviseur commun, calculé sans factoriser - même pour des nombres à 2026 chiffres.
  3. 13 Bézout, Gauss et équations ax + by = cRemonter l'algorithme d'Euclide, et résoudre les équations en nombres entiers.
  4. 14 Nombres premiersUne infinité de nombres premiers, le crible, et la décomposition qui contient toute l'information.
  5. 15 CongruencesCalculer avec les restes - et trouver le reste d'une puissance gigantesque sans la calculer.
  6. 16 Fermat, Euler et systèmes de congruencesSavoir à l'avance quelle puissance vaut 1, et résoudre plusieurs congruences à la fois.
Partie VI — Préparer l'épreuveChoisir l'outil, refaire les démonstrations du cours, puis des sujets en temps limité. 1 module · 5 leçons
  1. 17 Préparer l'épreuveReconnaître l'outil, refaire les démonstrations du cours, puis deux sujets complets en 1 h 30.