Understand

Première année · cycle préparatoire intégré · S1

Analyse 1 — CPI 1, ENSCK

En première année du cycle préparatoire intégré de l'ENSCK, l'analyse de base suit l'ordre du cours : l'ordre sur les nombres réels et la borne supérieure, les suites réelles (convergence, suites monotones et adjacentes, suites extraites, Cauchy), les fonctions réelles (limites, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, bijection), puis la dérivabilité (Rolle, accroissements finis) et les développements limités qu'utilisent les examens.

Tous les chapitres sont partagés avec d'autres parcours d'Understand qui enseignent la même chose : ta progression y est commune, et chaque chapitre emprunté indique le cours d'où il vient. Ils ont été choisis après comparaison avec les notes de cours, les quatre séries de TD et les épreuves de l'école.

Après le parcours, la bibliothèque de TD reprend les quatre séries de TD 2024-2025 et les épreuves d'Analyse de base 1 de l'ENSCK (contrôles continus et examens de 2020-2021 à 2024-2025), exercice par exercice, avec indices progressifs et corrections rédigées par Understand, puis un examen blanc Understand. Elle est facultative : ta progression dans le cours n'en dépend pas.

Modules
20
Leçons
106
Durée
~37 heures

Construit à partir des notes de cours, des quatre séries de TD (2024-2025) et des épreuves d'Analyse de base 1 du CPI de l'ENSC Kénitra (2020-2025). Understand est indépendant de l'école.

Commencer

Ce que tu sauras faire

  • Déterminer une borne supérieure ou inférieure et le démontrer
  • Démontrer qu'une suite converge - définition, encadrement, monotonie, suites adjacentes, Cauchy
  • Étudier une suite récurrente u(n+1) = f(u(n))
  • Calculer une limite, étudier la continuité, utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et de la bijection
  • Appliquer Rolle et les accroissements finis ; calculer et utiliser un développement limité
  • Traiter les exercices des TD et des épreuves d'Analyse de base 1 de l'ENSCK

Pour qui

Les élèves de première année du cycle préparatoire intégré (CPI 1) de l'École nationale supérieure de chimie de Kénitra (Université Ibn Tofaïl), et tout étudiant de première année scientifique qui suit un programme voisin.

Ce qu'il te faut

Le programme de mathématiques du baccalauréat scientifique : suites, limites, dérivées, fonctions usuelles, raisonnement par récurrence.

Programme

Partie I — Les nombres réelsOrdre, valeur absolue, partie entière, borne supérieure, Archimède, densité. 5 modules · 25 leçons
  1. 1 Le langage de l'analyseQuantificateurs, négation, implication - de quoi lire toutes les définitions et tous les théorèmes du cours.
  2. 2 Inégalités, valeur absolue, partie entièreLes trois outils de calcul de toute l'analyse - majorer, mesurer une distance, encadrer par des entiers.
  3. 3 Borne supérieureLe plus petit des majorants - ce qui remplace le maximum quand il n'existe pas, et ce qui distingue R de Q.
  4. 4 Archimède, densité, irrationnelsIl y a toujours un entier plus grand, et toujours un rationnel entre deux réels.
  5. 5 Bornes par les suites, droite achevéeTrouver une borne avec une suite d'éléments, et donner un sens à ±∞.
Partie II — Les suites réellesConvergence, suites monotones et adjacentes, suites extraites, Cauchy, suites récurrentes. 5 modules · 28 leçons
  1. 6 Limite d'une suite« Aussi près que l'on veut, à partir d'un certain rang » - et comment cette phrase devient une définition.
  2. 7 Opérations, ordre et encadrementCalculer une limite sans revenir à epsilon - et savoir ce que les inégalités deviennent à la limite.
  3. 8 Suites monotones et suites adjacentesDémontrer qu'une suite converge sans connaître sa limite.
  4. 9 Suites extraites, valeurs d'adhérence, suites de CauchyRegarder une partie de la suite pour comprendre le tout - et un critère de convergence qui ne parle pas de limite.
  5. 10 Suites récurrentesQuand chaque terme se calcule à partir du précédent - formules exactes dans le cas linéaire, étude qualitative sinon.
Partie III — Fonctions réelles - limites et continuitéLimite d'une fonction, continuité, valeurs intermédiaires, bijection, continuité uniforme. 4 modules · 19 leçons
  1. 11 Limite d'une fonctionLa même idée que pour les suites, avec delta à la place de N.
  2. 12 ContinuitéQuand la limite en un point est tout simplement la valeur en ce point.
  3. 13 Fonctions continues sur un intervalleTrois théorèmes d'existence - une valeur est atteinte, un maximum est atteint, une réciproque existe.
  4. 14 Continuité uniforme, fonctions lipschitziennesUn quantificateur qui change de place, et la continuité devient bien plus forte.
Partie IV — Dérivabilité et fonctions usuellesDérivée, Rolle, accroissements finis, Taylor, fonctions réciproques et hyperboliques. 5 modules · 23 leçons
  1. 15 Dérivée d'une fonctionLa limite d'un taux d'accroissement - et tout ce qu'on calcule avec.
  2. 16 Rolle et les accroissements finisQuand la dérivée renseigne sur la fonction - et l'existence d'un point c qu'on ne calcule jamais.
  3. 17 Formules de TaylorApprocher une fonction par un polynôme - avec un reste qu'on majore, ou un reste qu'on néglige.
  4. 18 Fonctions circulaires réciproquesarcsin, arccos, arctan - trois fonctions nouvelles, nées du théorème de la bijection.
  5. 19 Fonctions hyperboliquesch, sh, th et leurs réciproques - une trigonométrie construite avec l'exponentielle.
Partie V — Développements limitésApprocher une fonction par un polynôme ; calculer et utiliser un développement limité. 1 module · 5 leçons
  1. 20 Développements limitésRemplacer une fonction par un polynôme près d'un point - et lever les indéterminations en une ligne.