Understand

Première année · cycle préparatoire intégré · S1

Algèbre 1 — CPI 1, ENSCK

En première année du cycle préparatoire intégré de l'ENSCK, l'algèbre de base suit un ordre précis : la logique et les ensembles, les applications, les nombres complexes, les structures algébriques (lois, groupes, anneaux, corps), l'arithmétique dans Z, puis les polynômes et les fractions rationnelles. Ce parcours suit cet ordre.

Tous les chapitres sont partagés avec d'autres parcours d'Understand qui enseignent la même chose (ENSAM, FS Kénitra) : ta progression y est commune, et chaque chapitre emprunté indique le cours d'où il vient. Ils ont été choisis après comparaison avec les notes de cours, les trois séries de TD et les épreuves de l'école.

Après le parcours, la bibliothèque de TD reprend les trois séries de TD et les épreuves d'Algèbre de base 1 de l'ENSCK (contrôles continus et examen final, de 2019-2020 à 2025-2026), exercice par exercice, avec indices progressifs et corrections rédigées par Understand. Elle se termine par un examen blanc Understand. Elle est facultative : ta progression dans le cours n'en dépend pas.

Modules
27
Leçons
136
Durée
~60 heures

Construit à partir des notes de cours, des séries de TD et des épreuves d'Algèbre de base 1 du CPI de l'ENSC Kénitra (2019-2026). Understand est indépendant de l'école.

Commencer

Ce que tu sauras faire

  • Lire, nier et démontrer une proposition quantifiée ; choisir un type de raisonnement
  • Démontrer une égalité d'ensembles ; étudier l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité d'une application
  • Calculer avec les nombres complexes - module, argument, forme exponentielle, équations
  • Reconnaître une loi de composition, un groupe, un sous-groupe, un morphisme, un anneau, un corps
  • Calculer un PGCD, une relation de Bézout, un reste avec les congruences
  • Diviser et factoriser des polynômes ; décomposer une fraction rationnelle en éléments simples
  • Traiter les exercices des TD et des épreuves d'Algèbre de base 1 de l'ENSCK

Pour qui

Les élèves de première année du cycle préparatoire intégré (CPI 1) de l'École nationale supérieure de chimie de Kénitra (Université Ibn Tofaïl), et tout étudiant de première année scientifique qui suit un programme voisin.

Ce qu'il te faut

Le programme de mathématiques du baccalauréat scientifique : calcul algébrique, nombres complexes (forme algébrique et trigonométrique), raisonnement par récurrence, arithmétique de base.

Programme

Partie I — Logique et raisonnementsPropositions, connecteurs, quantificateurs, méthodes de démonstration, récurrence. 4 modules · 23 leçons
  1. 1 Propositions et connecteursVrai, faux, et, ou, non, implique - la grammaire de toutes les démonstrations.
  2. 2 QuantificateursPour tout, il existe - lire une définition, l'écrire, la nier.
  3. 3 Méthodes de démonstrationDirect, cas par cas, contraposée, absurde, contre-exemple, analyse-synthèse - et comment choisir.
  4. 4 Raisonnement par récurrenceDémontrer une infinité d'énoncés en deux étapes - et rédiger sans trou.
Partie II — Ensembles et applicationsOpérations sur les parties, différence symétrique, produit cartésien, relations, injections, surjections, bijections. 4 modules · 21 leçons
  1. 5 Ensembles et partiesAppartenir, être inclus, et la première démonstration type - prendre un élément et le suivre.
  2. 6 ApplicationsImage, antécédent, injection, surjection, bijection - et ce qu'il faut écrire pour démontrer chacune.
  3. 7 Relations d'équivalenceTrois propriétés à vérifier - et ce qu'elles fabriquent - des classes qui découpent l'ensemble.
  4. 8 Relations d'ordreComparer sans que tout soit comparable - et chercher un « plus grand » qui ne l'est pas pour l'ordre habituel.
Partie III — Nombres complexesForme algébrique, module, argument, exponentielle, Moivre, racines n-ièmes, équations. 4 modules · 15 leçons
  1. 9 Calculer dans C - forme algébrique, conjugué, moduleLes règles de calcul, le quotient par la quantité conjuguée, le module et l'inégalité triangulaire.
  2. 10 Argument, forme exponentielle, formule de MoivreÉcrire z = ρ e^{iθ} - et calculer produits, quotients et grandes puissances sans développer.
  3. 11 Racines n-ièmes et équations du second degréLes n racines de l'unité, les n racines n-ièmes d'un complexe, les racines carrées en forme algébrique.
  4. 12 Applications - trigonométrie et géométrieLinéariser, développer cos(nθ), écrire droites et cercles avec z et z̄.
Partie IV — Structures algébriquesLois de composition interne, groupes, sous-groupes, morphismes, anneaux, corps. 5 modules · 31 leçons
  1. 13 Lois de composition et groupesAvant d'appeler un ensemble un groupe, quatre vérifications - et la première est celle qu'on oublie.
  2. 14 Sous-groupes et théorème de LagrangeDeux vérifications au lieu de quatre - et pourquoi le nombre d'éléments d'un sous-groupe divise celui du groupe.
  3. 15 Morphismes de groupesLes applications qui respectent les lois - leur noyau, leur image, et quand deux groupes sont « le même ».
  4. 16 AnneauxDeux lois, des sous-anneaux qu'on démontre en deux lignes, et la question qui revient à chaque épreuve - quels sont les éléments inversibles ?
  5. 17 CorpsQuand tout élément non nul est inversible - Z/pZ et l'inverse modulaire, les anneaux intègres finis, les morphismes de corps.
Partie V — Arithmétique dans ZDivisibilité, division euclidienne, PGCD, Bézout et Gauss, nombres premiers, congruences. 5 modules · 23 leçons
  1. 18 Divisibilité et division euclidienneDiviser dans Z, y compris des négatifs - et prouver qu'une expression est toujours divisible par 24.
  2. 19 PGCD et algorithme d'EuclideLe plus grand diviseur commun, calculé sans factoriser - même pour des nombres à 2026 chiffres.
  3. 20 Bézout, Gauss et équations ax + by = cRemonter l'algorithme d'Euclide, et résoudre les équations en nombres entiers.
  4. 21 Nombres premiersUne infinité de nombres premiers, le crible, et la décomposition qui contient toute l'information.
  5. 22 CongruencesCalculer avec les restes - et trouver le reste d'une puissance gigantesque sans la calculer.
Partie VI — Polynômes et fractions rationnellesK[X], division euclidienne, PGCD, racines et multiplicité, factorisation, éléments simples. 5 modules · 20 leçons
  1. 23 L'anneau K[X]Le degré, les inversibles, et la division euclidienne - l'outil de toute la partie.
  2. 24 Arithmétique dans K[X]Pgcd par l'algorithme d'Euclide, relation de Bézout, ppcm, polynômes irréductibles - comme dans Z.
  3. 25 Racines et dérivationUne racine, c'est un facteur X − a ; sa multiplicité se lit sur les dérivées.
  4. 26 Factorisation dans C[X] et R[X]Le théorème de d'Alembert, les racines conjuguées, et la méthode qui part de l'indication de l'énoncé.
  5. 27 Fractions rationnellesPartie entière, forme a priori, calcul des coefficients - la dernière question de l'exercice 1 de chaque examen.