Understand

Première année · années préparatoires intégrées · S1

Analyse 1 — API 1, ENSAM Rabat

En API 1, l'analyse change de nature : on te demande de démontrer. Ce parcours suit l'ordre du module d'Analyse 1 de l'ENSAM Rabat - la droite réelle, les suites, les fonctions d'une variable réelle (limites, continuité, dérivabilité) et les développements limités - avec, à chaque étape, les démonstrations construites pas à pas.

Les chapitres sur les réels, les suites, la continuité et la dérivabilité sont partagés avec d'autres parcours d'Understand : ta progression y est commune. Deux chapitres sont propres à ton école : la droite réelle achevée avec la caractérisation séquentielle des bornes, et les développements limités.

Après le parcours, la bibliothèque de TD reprend les séries de TD d'Analyse 1 d'API 1 (2022 à 2026), exercice par exercice, avec indices progressifs et corrections. Elle est facultative : ta progression dans le cours n'en dépend pas.

Modules
20
Leçons
106
Durée
~37 heures

Construit à partir du syllabus de la filière API (accréditation 2024) et des cours et séries de TD d'Analyse 1 d'API 1 de l'ENSAM Rabat (2022-2026). Understand est indépendant de l'école.

Commencer

Ce que tu sauras faire

  • Déterminer une borne supérieure ou inférieure et le démontrer, par epsilon ou par une suite
  • Démontrer qu'une suite converge - définition, encadrement, monotonie, suites adjacentes, Cauchy
  • Étudier la continuité d'une fonction et utiliser les théorèmes sur un intervalle et un segment
  • Appliquer Rolle, les accroissements finis et les formules de Taylor
  • Calculer un développement limité et s'en servir pour une limite ou une tangente
  • Traiter les exercices des séries de TD d'Analyse 1 d'API 1

Pour qui

Les étudiants de première année API (années préparatoires intégrées) de l'ENSAM Rabat, et tout étudiant de première année scientifique qui suit un programme voisin.

Ce qu'il te faut

Le programme de mathématiques du baccalauréat scientifique (Sciences mathématiques, Sciences physiques, Sciences et technologies) : suites, limites, dérivées, fonctions usuelles, raisonnement par récurrence.

Programme

Partie I — La droite réelleInégalités, borne supérieure, Archimède, densité, droite achevée. 5 modules · 25 leçons
  1. 1 Le langage de l'analyseQuantificateurs, négation, implication - de quoi lire toutes les définitions et tous les théorèmes du cours.
  2. 2 Inégalités, valeur absolue, partie entièreLes trois outils de calcul de toute l'analyse - majorer, mesurer une distance, encadrer par des entiers.
  3. 3 Borne supérieureLe plus petit des majorants - ce qui remplace le maximum quand il n'existe pas, et ce qui distingue R de Q.
  4. 4 Archimède, densité, irrationnelsIl y a toujours un entier plus grand, et toujours un rationnel entre deux réels.
  5. 5 Bornes par les suites, droite achevéeTrouver une borne avec une suite d'éléments, et donner un sens à ±∞.
Partie II — Suites numériquesConvergence, suites monotones et adjacentes, suites extraites, Cauchy, suites récurrentes. 5 modules · 28 leçons
  1. 6 Limite d'une suite« Aussi près que l'on veut, à partir d'un certain rang » - et comment cette phrase devient une définition.
  2. 7 Opérations, ordre et encadrementCalculer une limite sans revenir à epsilon - et savoir ce que les inégalités deviennent à la limite.
  3. 8 Suites monotones et suites adjacentesDémontrer qu'une suite converge sans connaître sa limite.
  4. 9 Suites extraites, valeurs d'adhérence, suites de CauchyRegarder une partie de la suite pour comprendre le tout - et un critère de convergence qui ne parle pas de limite.
  5. 10 Suites récurrentesQuand chaque terme se calcule à partir du précédent - formules exactes dans le cas linéaire, étude qualitative sinon.
Partie III — Fonctions d'une variable réelle - limites et continuitéLimite d'une fonction, continuité, théorèmes sur un intervalle et un segment. 4 modules · 19 leçons
  1. 11 Limite d'une fonctionLa même idée que pour les suites, avec delta à la place de N.
  2. 12 ContinuitéQuand la limite en un point est tout simplement la valeur en ce point.
  3. 13 Fonctions continues sur un intervalleTrois théorèmes d'existence - une valeur est atteinte, un maximum est atteint, une réciproque existe.
  4. 14 Continuité uniforme, fonctions lipschitziennesUn quantificateur qui change de place, et la continuité devient bien plus forte.
Partie IV — Dérivabilité et fonctions usuellesDérivée, Rolle, accroissements finis, Taylor, fonctions réciproques et hyperboliques. 5 modules · 23 leçons
  1. 15 Dérivée d'une fonctionLa limite d'un taux d'accroissement - et tout ce qu'on calcule avec.
  2. 16 Rolle et les accroissements finisQuand la dérivée renseigne sur la fonction - et l'existence d'un point c qu'on ne calcule jamais.
  3. 17 Formules de TaylorApprocher une fonction par un polynôme - avec un reste qu'on majore, ou un reste qu'on néglige.
  4. 18 Fonctions circulaires réciproquesarcsin, arccos, arctan - trois fonctions nouvelles, nées du théorème de la bijection.
  5. 19 Fonctions hyperboliquesch, sh, th et leurs réciproques - une trigonométrie construite avec l'exponentielle.
Partie V — Développements limitésApprocher une fonction par un polynôme, calculer, s'en servir. 1 module · 5 leçons
  1. 20 Développements limitésRemplacer une fonction par un polynôme près d'un point - et lever les indéterminations en une ligne.