Understand

Première année · années préparatoires intégrées · S1

Algèbre 1 — API 1, ENSAM Rabat

Le module d'Algèbre 1 de l'ENSAM Rabat a cinq chapitres : éléments de logique et théorie des ensembles ; nombres complexes et calcul algébrique ; vocabulaire des structures algébriques ; arithmétique ; polynômes et fractions rationnelles. Ce parcours les suit dans cet ordre.

La logique, les ensembles, les structures, l'arithmétique et les polynômes reprennent des chapitres d'Understand partagés avec d'autres parcours (ta progression y est commune). Les nombres complexes sont écrits pour ce parcours.

Après le parcours, la bibliothèque de TD reprend les cinq séries d'Algèbre 1 d'API 1 (2024-2025 et 2025-2026), exercice par exercice. Elle est facultative.

Modules
26
Leçons
129
Durée
~56 heures

Construit à partir du syllabus de la filière API (accréditation 2024) et des cours et séries de TD d'Algèbre 1 d'API 1 de l'ENSAM Rabat (2023-2026). Understand est indépendant de l'école.

Commencer

Ce que tu sauras faire

  • Lire, nier et démontrer une proposition quantifiée ; choisir un type de raisonnement
  • Manipuler ensembles, relations et applications (injection, surjection, bijection)
  • Calculer avec les nombres complexes - module, argument, formes exponentielles, racines n-ièmes
  • Reconnaître et démontrer une structure de groupe, d'anneau ou de corps
  • Résoudre des problèmes d'arithmétique - PGCD, Bézout, congruences
  • Diviser, factoriser des polynômes et décomposer une fraction rationnelle en éléments simples

Pour qui

Les étudiants de première année API de l'ENSAM Rabat, et tout étudiant de première année scientifique qui suit un programme voisin.

Ce qu'il te faut

Le programme de mathématiques du baccalauréat scientifique : calcul algébrique, nombres complexes (forme algébrique et trigonométrique), raisonnement par récurrence, arithmétique de base.

Programme

Chapitre 1 (a) — Logique et raisonnementsConnecteurs, quantificateurs, les méthodes de démonstration, la récurrence. 4 modules · 23 leçons
  1. 1 Propositions et connecteursVrai, faux, et, ou, non, implique - la grammaire de toutes les démonstrations.
  2. 2 QuantificateursPour tout, il existe - lire une définition, l'écrire, la nier.
  3. 3 Méthodes de démonstrationDirect, cas par cas, contraposée, absurde, contre-exemple, analyse-synthèse - et comment choisir.
  4. 4 Raisonnement par récurrenceDémontrer une infinité d'énoncés en deux étapes - et rédiger sans trou.
Chapitre 1 (b) — Ensembles, relations, applicationsOpérations sur les ensembles, relations d'équivalence et d'ordre, injections, surjections, bijections. 4 modules · 21 leçons
  1. 5 Ensembles et partiesAppartenir, être inclus, et la première démonstration type - prendre un élément et le suivre.
  2. 6 Relations d'équivalenceTrois propriétés à vérifier - et ce qu'elles fabriquent - des classes qui découpent l'ensemble.
  3. 7 Relations d'ordreComparer sans que tout soit comparable - et chercher un « plus grand » qui ne l'est pas pour l'ordre habituel.
  4. 8 ApplicationsImage, antécédent, injection, surjection, bijection - et ce qu'il faut écrire pour démontrer chacune.
Chapitre 2 — Nombres complexes et calcul algébriqueForme algébrique, module, argument, exponentielle, Moivre, racines n-ièmes, applications. 4 modules · 15 leçons
  1. 9 Calculer dans C - forme algébrique, conjugué, moduleLes règles de calcul, le quotient par la quantité conjuguée, le module et l'inégalité triangulaire.
  2. 10 Argument, forme exponentielle, formule de MoivreÉcrire z = ρ e^{iθ} - et calculer produits, quotients et grandes puissances sans développer.
  3. 11 Racines n-ièmes et équations du second degréLes n racines de l'unité, les n racines n-ièmes d'un complexe, les racines carrées en forme algébrique.
  4. 12 Applications - trigonométrie et géométrieLinéariser, développer cos(nθ), écrire droites et cercles avec z et z̄.
Chapitre 3 — Vocabulaire des structures algébriquesLois de composition, groupes et sous-groupes, anneaux, corps. 4 modules · 24 leçons
  1. 13 Lois de composition et groupesAvant d'appeler un ensemble un groupe, quatre vérifications - et la première est celle qu'on oublie.
  2. 14 Sous-groupes et théorème de LagrangeDeux vérifications au lieu de quatre - et pourquoi le nombre d'éléments d'un sous-groupe divise celui du groupe.
  3. 15 AnneauxDeux lois, des sous-anneaux qu'on démontre en deux lignes, et la question qui revient à chaque épreuve - quels sont les éléments inversibles ?
  4. 16 CorpsQuand tout élément non nul est inversible - Z/pZ et l'inverse modulaire, les anneaux intègres finis, les morphismes de corps.
Chapitre 4 — ArithmétiqueDivisibilité, PGCD et PPCM, Bézout et Gauss, nombres premiers, congruences. 5 modules · 23 leçons
  1. 17 Divisibilité et division euclidienneDiviser dans Z, y compris des négatifs - et prouver qu'une expression est toujours divisible par 24.
  2. 18 PGCD et algorithme d'EuclideLe plus grand diviseur commun, calculé sans factoriser - même pour des nombres à 2026 chiffres.
  3. 19 Bézout, Gauss et équations ax + by = cRemonter l'algorithme d'Euclide, et résoudre les équations en nombres entiers.
  4. 20 Nombres premiersUne infinité de nombres premiers, le crible, et la décomposition qui contient toute l'information.
  5. 21 CongruencesCalculer avec les restes - et trouver le reste d'une puissance gigantesque sans la calculer.
Chapitre 5 — Polynômes et fractions rationnellesK[X], division euclidienne, PGCD, racines, factorisation, éléments simples. 5 modules · 20 leçons
  1. 22 L'anneau K[X]Le degré, les inversibles, et la division euclidienne - l'outil de toute la partie.
  2. 23 Arithmétique dans K[X]Pgcd par l'algorithme d'Euclide, relation de Bézout, ppcm, polynômes irréductibles - comme dans Z.
  3. 24 Racines et dérivationUne racine, c'est un facteur X − a ; sa multiplicité se lit sur les dérivées.
  4. 25 Factorisation dans C[X] et R[X]Le théorème de d'Alembert, les racines conjuguées, et la méthode qui part de l'indication de l'énoncé.
  5. 26 Fractions rationnellesPartie entière, forme a priori, calcul des coefficients - la dernière question de l'exercice 1 de chaque examen.