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Première année · années préparatoires intégrées · S1

Analyse 1 — API 1, ENSAM Casablanca

Le module d'Analyse 1 de l'ENSAM Casablanca a cinq chapitres : le corps des nombres réels ; les suites réelles ; les fonctions d'une variable réelle (limites, équivalents, continuité) ; la dérivation ; les développements limités et asymptotiques. Ce parcours les suit dans cet ordre.

Tous les chapitres sont des chapitres d'Understand partagés avec d'autres parcours (ta progression y est commune) ; chacun le signale. Les relations de comparaison et les développements asymptotiques, que le cours de Casablanca demande et que les examens utilisent (asymptote et position d'une courbe), viennent du chapitre « Développements limités » du parcours CPGE MPSI, sans ses épreuves chronométrées ni ses colles.

Après le parcours, la bibliothèque de TD reprend les cinq feuilles de TD d'Analyse 1 d'API 1, exercice par exercice, et les sujets d'examen disponibles. Elle est facultative.

Modules
18
Leçons
97
Durée
~37 heures

Construit à partir du programme de la filière API publié par l'école, des cours et des feuilles de TD d'Analyse 1 d'API 1 de l'ENSAM Casablanca et de ses sujets d'examen (2023-2026). Understand est indépendant de l'école.

Commencer

Ce que tu sauras faire

  • Manipuler inégalités, valeur absolue, partie entière, bornes supérieure et inférieure
  • Étudier la convergence d'une suite - encadrement, monotonie, suites adjacentes, suites extraites, suites récurrentes
  • Calculer des limites de fonctions, avec les équivalents ; utiliser les théorèmes sur les fonctions continues
  • Utiliser le théorème de Rolle et les accroissements finis ; étudier une suite définie par u_{n+1} = f(u_n)
  • Calculer des développements limités et asymptotiques ; en déduire limites, asymptotes et positions

Pour qui

Les étudiants de première année API de l'ENSAM Casablanca, et tout étudiant de première année scientifique qui suit un premier cours d'analyse réelle.

Ce qu'il te faut

Le programme de mathématiques du baccalauréat scientifique : fonctions usuelles, limites, dérivées, suites, raisonnement par récurrence.

Programme

Chapitre 1 — Le corps des nombres réelsOrdre, valeur absolue, borne supérieure, Archimède, partie entière, densité de Q. 4 modules · 22 leçons
  1. 1 Le langage de l'analyseQuantificateurs, négation, implication - de quoi lire toutes les définitions et tous les théorèmes du cours.
  2. 2 Inégalités, valeur absolue, partie entièreLes trois outils de calcul de toute l'analyse - majorer, mesurer une distance, encadrer par des entiers.
  3. 3 Borne supérieureLe plus petit des majorants - ce qui remplace le maximum quand il n'existe pas, et ce qui distingue R de Q.
  4. 4 Archimède, densité, irrationnelsIl y a toujours un entier plus grand, et toujours un rationnel entre deux réels.
Chapitre 2 — Suites réellesConvergence, opérations, encadrement, suites monotones et adjacentes, suites extraites, suites récurrentes. 5 modules · 28 leçons
  1. 5 Limite d'une suite« Aussi près que l'on veut, à partir d'un certain rang » - et comment cette phrase devient une définition.
  2. 6 Opérations, ordre et encadrementCalculer une limite sans revenir à epsilon - et savoir ce que les inégalités deviennent à la limite.
  3. 7 Suites monotones et suites adjacentesDémontrer qu'une suite converge sans connaître sa limite.
  4. 8 Suites extraites, valeurs d'adhérence, suites de CauchyRegarder une partie de la suite pour comprendre le tout - et un critère de convergence qui ne parle pas de limite.
  5. 9 Suites récurrentesQuand chaque terme se calcule à partir du précédent - formules exactes dans le cas linéaire, étude qualitative sinon.
Chapitre 3 — Fonctions d'une variable réelleLimites, lien avec les suites, fonctions monotones, continuité, image d'un intervalle et d'un segment. 3 modules · 14 leçons
  1. 10 Limite d'une fonctionLa même idée que pour les suites, avec delta à la place de N.
  2. 11 ContinuitéQuand la limite en un point est tout simplement la valeur en ce point.
  3. 12 Fonctions continues sur un intervalleTrois théorèmes d'existence - une valeur est atteinte, un maximum est atteint, une réciproque existe.
Chapitre 4 — DérivationDérivée, dérivées successives, Rolle, accroissements finis, fonctions usuelles. 4 modules · 18 leçons
  1. 13 Dérivée d'une fonctionLa limite d'un taux d'accroissement - et tout ce qu'on calcule avec.
  2. 14 Rolle et les accroissements finisQuand la dérivée renseigne sur la fonction - et l'existence d'un point c qu'on ne calcule jamais.
  3. 15 Fonctions circulaires réciproquesarcsin, arccos, arctan - trois fonctions nouvelles, nées du théorème de la bijection.
  4. 16 Fonctions hyperboliquesch, sh, th et leurs réciproques - une trigonométrie construite avec l'exponentielle.
Chapitre 5 — Développements limitésTaylor-Young, équivalents et négligeabilité, opérations sur les DL, développements asymptotiques. 2 modules · 10 leçons
  1. 17 Formules de TaylorApprocher une fonction par un polynôme - avec un reste qu'on majore, ou un reste qu'on néglige.
  2. 18 Développements limités et calcul asymptotiqueComparer des suites et des fonctions au voisinage d'un point, et approcher une fonction par un polynôme.