Understand

Première année · années préparatoires intégrées · S1

Algèbre 1 — API 1, ENSAM Casablanca

Le module d'Algèbre 1 de l'ENSAM Casablanca suit six étapes, dans l'ordre des cinq feuilles d'exercices de 2024-2025 : logique ; ensembles, applications et relations ; nombres complexes et transformations du plan ; structures algébriques (groupes, groupe symétrique, anneaux, corps) ; arithmétique dans Z ; polynômes et fractions rationnelles. Ce parcours les suit dans cet ordre.

La plupart des chapitres sont des chapitres d'Understand partagés avec d'autres parcours (ta progression y est commune) ; chacun le signale. Le chapitre Similitudes et transformations du plan, que les feuilles et les examens de Casablanca demandent et qu'aucun autre parcours ne traite, est écrit pour ce parcours.

Après le parcours, la bibliothèque de TD reprend les cinq feuilles d'Algèbre 1 d'API 1 (2024-2025), exercice par exercice, et les sujets d'examen de 2022-2023 à 2025-2026. Elle est facultative.

Modules
29
Leçons
144
Durée
~64 heures

Construit à partir du programme de la filière API publié par l'école, des cours et des feuilles d'exercices d'Algèbre 1 d'API 1 de l'ENSAM Casablanca (2023-2026) et de ses sujets d'examen (2022-2026). Understand est indépendant de l'école.

Commencer

Ce que tu sauras faire

  • Lire, nier et démontrer une proposition quantifiée ; choisir un type de raisonnement
  • Manipuler ensembles, applications (injection, surjection, bijection) et relations
  • Calculer avec les nombres complexes et reconnaître une translation, une homothétie, une rotation, une similitude
  • Reconnaître et démontrer une structure de groupe, d'anneau ou de corps ; calculer avec les permutations
  • Résoudre des problèmes d'arithmétique - PGCD, Bézout, équations diophantiennes, congruences
  • Diviser, factoriser des polynômes et décomposer une fraction rationnelle en éléments simples

Pour qui

Les étudiants de première année API de l'ENSAM Casablanca, et tout étudiant de première année scientifique qui suit un programme voisin.

Ce qu'il te faut

Le programme de mathématiques du baccalauréat scientifique : calcul algébrique, nombres complexes (forme algébrique et trigonométrique), raisonnement par récurrence, arithmétique de base.

Programme

Chapitre 1 — Notions de logiqueAssertions, connecteurs, quantificateurs, négation, les méthodes de démonstration, la récurrence. 4 modules · 23 leçons
  1. 1 Propositions et connecteursVrai, faux, et, ou, non, implique - la grammaire de toutes les démonstrations.
  2. 2 QuantificateursPour tout, il existe - lire une définition, l'écrire, la nier.
  3. 3 Méthodes de démonstrationDirect, cas par cas, contraposée, absurde, contre-exemple, analyse-synthèse - et comment choisir.
  4. 4 Raisonnement par récurrenceDémontrer une infinité d'énoncés en deux étapes - et rédiger sans trou.
Chapitre 2 — Ensembles, applications et relationsOpérations sur les ensembles, images directes et réciproques, injections, surjections, bijections, relations d'équivalence et d'ordre. 4 modules · 21 leçons
  1. 5 Ensembles et partiesAppartenir, être inclus, et la première démonstration type - prendre un élément et le suivre.
  2. 6 ApplicationsImage, antécédent, injection, surjection, bijection - et ce qu'il faut écrire pour démontrer chacune.
  3. 7 Relations d'équivalenceTrois propriétés à vérifier - et ce qu'elles fabriquent - des classes qui découpent l'ensemble.
  4. 8 Relations d'ordreComparer sans que tout soit comparable - et chercher un « plus grand » qui ne l'est pas pour l'ordre habituel.
Chapitre 3 — Nombres complexes et transformations du planForme algébrique, module, argument, exponentielle, Moivre, racines n-ièmes, trigonométrie, similitudes. 5 modules · 19 leçons
  1. 9 Calculer dans C - forme algébrique, conjugué, moduleLes règles de calcul, le quotient par la quantité conjuguée, le module et l'inégalité triangulaire.
  2. 10 Argument, forme exponentielle, formule de MoivreÉcrire z = ρ e^{iθ} - et calculer produits, quotients et grandes puissances sans développer.
  3. 11 Racines n-ièmes et équations du second degréLes n racines de l'unité, les n racines n-ièmes d'un complexe, les racines carrées en forme algébrique.
  4. 12 Applications - trigonométrie et géométrieLinéariser, développer cos(nθ), écrire droites et cercles avec z et z̄.
  5. 13 Similitudes et transformations du planTranslations, homothéties, rotations, et la similitude directe z ↦ az + b - centre, rapport, angle.
Chapitre 4 — Structures algébriquesLois de composition, groupes, sous-groupes, morphismes, groupe symétrique, anneaux, corps. 6 modules · 34 leçons
  1. 14 Lois de composition et groupesAvant d'appeler un ensemble un groupe, quatre vérifications - et la première est celle qu'on oublie.
  2. 15 Sous-groupes et théorème de LagrangeDeux vérifications au lieu de quatre - et pourquoi le nombre d'éléments d'un sous-groupe divise celui du groupe.
  3. 16 Morphismes de groupesLes applications qui respectent les lois - leur noyau, leur image, et quand deux groupes sont « le même ».
  4. 17 Groupe symétriquePermutations, cycles, signature - un chapitre court, qui servira pour les déterminants.
  5. 18 AnneauxDeux lois, des sous-anneaux qu'on démontre en deux lignes, et la question qui revient à chaque épreuve - quels sont les éléments inversibles ?
  6. 19 CorpsQuand tout élément non nul est inversible - Z/pZ et l'inverse modulaire, les anneaux intègres finis, les morphismes de corps.
Chapitre 5 — Arithmétique dans ZDivisibilité, PGCD et PPCM, Bézout et Gauss, nombres premiers, congruences. 5 modules · 23 leçons
  1. 20 Divisibilité et division euclidienneDiviser dans Z, y compris des négatifs - et prouver qu'une expression est toujours divisible par 24.
  2. 21 PGCD et algorithme d'EuclideLe plus grand diviseur commun, calculé sans factoriser - même pour des nombres à 2026 chiffres.
  3. 22 Bézout, Gauss et équations ax + by = cRemonter l'algorithme d'Euclide, et résoudre les équations en nombres entiers.
  4. 23 Nombres premiersUne infinité de nombres premiers, le crible, et la décomposition qui contient toute l'information.
  5. 24 CongruencesCalculer avec les restes - et trouver le reste d'une puissance gigantesque sans la calculer.
Chapitre 6 — Polynômes et fractions rationnellesK[X], division euclidienne, PGCD, racines, factorisation, éléments simples. 5 modules · 20 leçons
  1. 25 L'anneau K[X]Le degré, les inversibles, et la division euclidienne - l'outil de toute la partie.
  2. 26 Arithmétique dans K[X]Pgcd par l'algorithme d'Euclide, relation de Bézout, ppcm, polynômes irréductibles - comme dans Z.
  3. 27 Racines et dérivationUne racine, c'est un facteur X − a ; sa multiplicité se lit sur les dérivées.
  4. 28 Factorisation dans C[X] et R[X]Le théorème de d'Alembert, les racines conjuguées, et la méthode qui part de l'indication de l'énoncé.
  5. 29 Fractions rationnellesPartie entière, forme a priori, calcul des coefficients - la dernière question de l'exercice 1 de chaque examen.