Understand

Première année préparatoire · tronc commun · S1

Algèbre 1 — 1re année préparatoire, EMSI

En première année préparatoire de l'EMSI, le cours d'Algèbre 1 (module de mathématiques 1) suit cinq chapitres : les nombres complexes, la logique et le raisonnement (avec les ensembles et les relations), les polynômes, les fractions rationnelles, puis les structures algébriques (lois de composition, groupes, anneaux, corps). Ce parcours suit cet ordre.

Tous les chapitres sont partagés avec d'autres parcours d'Understand qui enseignent la même chose (ENSAM, Faculté des sciences) : ta progression y est commune, et chaque chapitre emprunté indique le cours d'où il vient. Ils ont été choisis après comparaison, section par section, avec le polycopié d'Algèbre 1 de l'EMSI (2025-2026).

Après le parcours, la bibliothèque d'exercices reprend les cinq séries du polycopié, exercice par exercice et dans leur numérotation, avec indices progressifs et corrections rédigées par Understand (le polycopié ne contient pas de corrigé). Elle se termine par un examen blanc écrit par Understand. Elle est facultative : ta progression dans le cours n'en dépend pas.

Modules
21
Leçons
106
Durée
~47 heures

Construit à partir du polycopié d'Algèbre 1 de la 1re année préparatoire de l'EMSI Casablanca (2025-2026) et de ses cinq séries d'exercices. Understand est indépendant de l'école.

Commencer

Ce que tu sauras faire

  • Calculer avec les nombres complexes - forme algébrique, module, argument, forme exponentielle, racines carrées, équations du second degré
  • Lire, nier et démontrer une proposition quantifiée ; choisir un type de raisonnement, dont la récurrence
  • Calculer avec les ensembles ; reconnaître une relation d'équivalence ou d'ordre
  • Diviser des polynômes, calculer un PGCD et un PPCM, trouver racines et multiplicités, factoriser dans R[X] et C[X]
  • Décomposer une fraction rationnelle en éléments simples sur R et sur C
  • Reconnaître une loi de composition interne, un groupe, un sous-groupe, un morphisme, un anneau, un corps
  • Traiter les exercices des séries du polycopié d'Algèbre 1 de l'EMSI

Pour qui

Les élèves de première année préparatoire (1AP, tronc commun) de l'École marocaine des sciences de l'ingénieur, et tout étudiant de première année scientifique qui suit un programme voisin.

Ce qu'il te faut

Le programme de mathématiques du baccalauréat scientifique : calcul algébrique, nombres complexes (forme algébrique et trigonométrique), raisonnement par récurrence, polynômes du second degré.

Programme

Chapitre I — Nombres complexesForme algébrique, conjugué et module, argument, formes trigonométrique et exponentielle, racines carrées, second degré. 4 modules · 15 leçons
  1. 1 Calculer dans C - forme algébrique, conjugué, moduleLes règles de calcul, le quotient par la quantité conjuguée, le module et l'inégalité triangulaire.
  2. 2 Argument, forme exponentielle, formule de MoivreÉcrire z = ρ e^{iθ} - et calculer produits, quotients et grandes puissances sans développer.
  3. 3 Racines n-ièmes et équations du second degréLes n racines de l'unité, les n racines n-ièmes d'un complexe, les racines carrées en forme algébrique.
  4. 4 Applications - trigonométrie et géométrieLinéariser, développer cos(nθ), écrire droites et cercles avec z et z̄.
Chapitre II — Logique et raisonnementPropositions et connecteurs, quantificateurs, ensembles, méthodes de raisonnement, récurrence, relations d'équivalence et d'ordre. 7 modules · 37 leçons
  1. 5 Propositions et connecteursVrai, faux, et, ou, non, implique - la grammaire de toutes les démonstrations.
  2. 6 QuantificateursPour tout, il existe - lire une définition, l'écrire, la nier.
  3. 7 Ensembles et partiesAppartenir, être inclus, et la première démonstration type - prendre un élément et le suivre.
  4. 8 Méthodes de démonstrationDirect, cas par cas, contraposée, absurde, contre-exemple, analyse-synthèse - et comment choisir.
  5. 9 Raisonnement par récurrenceDémontrer une infinité d'énoncés en deux étapes - et rédiger sans trou.
  6. 10 Relations d'équivalenceTrois propriétés à vérifier - et ce qu'elles fabriquent - des classes qui découpent l'ensemble.
  7. 11 Relations d'ordreComparer sans que tout soit comparable - et chercher un « plus grand » qui ne l'est pas pour l'ordre habituel.
Chapitre III — PolynômesOpérations, degré, division euclidienne, PGCD et PPCM, racines et multiplicité, factorisation dans R[X] et C[X]. 4 modules · 15 leçons
  1. 12 L'anneau K[X]Le degré, les inversibles, et la division euclidienne - l'outil de toute la partie.
  2. 13 Arithmétique dans K[X]Pgcd par l'algorithme d'Euclide, relation de Bézout, ppcm, polynômes irréductibles - comme dans Z.
  3. 14 Racines et dérivationUne racine, c'est un facteur X − a ; sa multiplicité se lit sur les dérivées.
  4. 15 Factorisation dans C[X] et R[X]Le théorème de d'Alembert, les racines conjuguées, et la méthode qui part de l'indication de l'énoncé.
Chapitre IV — Fractions rationnellesPartie entière, pôles, décomposition en éléments simples sur R et sur C. 1 module · 5 leçons
  1. 16 Fractions rationnellesPartie entière, forme a priori, calcul des coefficients - la dernière question de l'exercice 1 de chaque examen.
Chapitre V — Structures algébriquesLois de composition interne, éléments particuliers, groupes, sous-groupes, morphismes, anneaux, corps. 5 modules · 31 leçons
  1. 17 Lois de composition et groupesAvant d'appeler un ensemble un groupe, quatre vérifications - et la première est celle qu'on oublie.
  2. 18 Sous-groupes et théorème de LagrangeDeux vérifications au lieu de quatre - et pourquoi le nombre d'éléments d'un sous-groupe divise celui du groupe.
  3. 19 Morphismes de groupesLes applications qui respectent les lois - leur noyau, leur image, et quand deux groupes sont « le même ».
  4. 20 AnneauxDeux lois, des sous-anneaux qu'on démontre en deux lignes, et la question qui revient à chaque épreuve - quels sont les éléments inversibles ?
  5. 21 CorpsQuand tout élément non nul est inversible - Z/pZ et l'inverse modulaire, les anneaux intègres finis, les morphismes de corps.