Understand

Deuxième année post-Bac · cycle préparatoire

Analyse 3 — S3

En première année, tout se passait sur la droite réelle : une distance, |x - y|, et une seule façon de s'approcher d'un point. Dès qu'on travaille avec des vecteurs, des suites ou des fonctions, il y a plusieurs façons raisonnables de mesurer une taille - et il faut savoir lesquelles reviennent au même.

Ce cours construit les outils dans l'ordre où ils servent : d'abord mesurer (normes), puis parler de limite et de continuité dans un espace normé, puis dériver une fonction de plusieurs variables, enfin l'intégrer sur un domaine du plan. Chaque notion part d'une question, se construit pas à pas, se démontre, puis s'exerce - jusqu'aux exercices des feuilles de TD et des épreuves.

Modules
11
Leçons
50
Durée
~29 heures

Construit à partir des supports de cours, des feuilles de TD et des épreuves d'Analyse 3 de l'ENSAM de Meknès partagés par les étudiants. Ce n'est pas le programme publié par l'école. Understand est indépendant de l'école.

Commencer

Ce que tu sauras faire

  • Démontrer qu'une application est une norme, et comparer deux normes
  • Reconnaître un ouvert, un fermé, un compact, et le démontrer
  • Étudier la limite et la continuité d'une fonction de plusieurs variables
  • Calculer des dérivées partielles, une différentielle, une matrice jacobienne
  • Chercher les extremums d'une fonction de plusieurs variables
  • Calculer une intégrale double par le théorème de Fubini ou par changement de variables

Pour qui

Les étudiants de deuxième année du cycle préparatoire (semestre 3). Le périmètre suit le cours d'Analyse 3 de l'ENSAM de Meknès, tel que le montrent les supports de cours, les feuilles de TD et les épreuves partagés par les étudiants.

Ce qu'il te faut

L'analyse et l'algèbre de première année : suites réelles, continuité, dérivation, espaces vectoriels. Ce qu'il faut de chacune est rappelé au début du chapitre qui s'en sert, avec un test rapide pour savoir si le rappel t'est utile.

Programme

Partie I — Espaces vectoriels normésNormes, suites, ouverts et fermés, compacts, continuité. 5 modules · 25 leçons
  1. 1 NormesMesurer la taille d'un vecteur - et découvrir qu'il y a plusieurs bonnes façons de le faire.
  2. 2 Suites dans un espace norméConverger, c'est s'approcher - mais s'approcher au sens de quelle norme ?
  3. 3 Ouverts, fermés, intérieur, adhérenceDire d'une partie si elle contient son bord, si elle a de l'épaisseur - avec des boules ou avec des suites.
  4. 4 CompactsLes parties où toute suite finit par s'accumuler quelque part - et pourquoi elles rendent tant de services.
  5. 5 Continuité et applications linéaires continuesLes applications qui respectent la notion de « proche » - et ce qu'elles font des ouverts, des fermés, des compacts.
Partie II — Calcul différentielLimites, dérivées partielles, différentiabilité, changement de variables, extremums. 4 modules · 16 leçons
  1. 6 Limites et continuité des fonctions de deux variablesLe premier exercice de presque tous les examens - cette fonction est-elle continue en (0, 0) ?
  2. 7 Dérivées partielles et différentiabilitéTrois niveaux de régularité qu'il ne faut pas confondre - et que les examens demandent de distinguer.
  3. 8 Composition et changement de variablesDériver une fonction de fonctions - l'outil qui transforme une équation aux dérivées partielles en une équation qu'on sait résoudre.
  4. 9 Dérivées secondes et extremumsL'ordre des dérivations, les équations du second ordre, et la recherche des maximums et minimums.
Partie III — Intégrales multiplesIntégrales doubles, théorème de Fubini, changement de variables. 2 modules · 8 leçons
  1. 10 Intégrales doublesUn volume sous une surface, calculé par tranches - à condition d'avoir d'abord dessiné le domaine.
  2. 11 Changement de variables, coordonnées polairesQuand le domaine est rond, on cesse de le découper en rectangles.