Understand

Cours · Première année post-Bac · cycle préparatoire

Analyse 1 — S1

En première année, les mathématiques changent de nature. On ne te demande plus seulement de calculer : on te demande de démontrer. Les définitions s'écrivent avec des quantificateurs, les théorèmes ont des hypothèses qu'il faut vérifier une à une, et « ça se voit sur le dessin » ne suffit plus.

Ce cours t'apprend ce langage. Chaque définition est démontée pièce par pièce avant d'être utilisée. Chaque théorème répond à quatre questions : que dit-il, que signifie-t-il, à quoi sert-il, quand a-t-on le droit de l'appliquer. Et chaque démonstration se construit avec toi, étape par étape - jusqu'à ce que tu saches par où commencer, seul, devant un exercice inconnu.

Modules
19
Leçons
93
Durée
~30 heures

Construit à partir des cours, des TD et des épreuves de première année de l'ENSAM de Meknès. Understand est indépendant de l'école.

Commencer gratuitement

Ce que tu sauras faire

  • Lire et écrire une définition avec des quantificateurs, et savoir la nier
  • Déterminer une borne supérieure et le démontrer
  • Démontrer qu'une suite converge - par la définition, par encadrement, par monotonie, par les suites adjacentes
  • Étudier une suite récurrente sans confondre « candidat pour la limite » et « preuve de convergence »
  • Démontrer une existence avec le théorème des valeurs intermédiaires, Rolle ou les accroissements finis, après avoir vérifié leurs hypothèses
  • Établir une inégalité avec les accroissements finis ou la formule de Taylor-Lagrange
  • Manipuler les fonctions circulaires réciproques et hyperboliques
  • Rédiger une démonstration courte et rigoureuse

Pour qui

Les étudiants de première année post-Bac (cycle préparatoire intégré, classes préparatoires, licence) qui suivent un premier cours d'analyse réelle. Le périmètre suit le module d'Analyse 1 du premier semestre de l'ENSAM de Meknès, tel que le montrent les cours, les travaux dirigés et les épreuves de ces dernières années.

Ce qu'il te faut

Le programme de mathématiques du baccalauréat scientifique : suites, limites, dérivées, fonctions usuelles, raisonnement par récurrence. Le vocabulaire nouveau - quantificateurs, négation, contraposée - est repris dans le premier chapitre.

Programme

Pour commencer — Le langage de l'analyseQuantificateurs, négation, implication - les outils pour lire et écrire tout le reste. 1 module · 5 leçons
  1. 1 Le langage de l'analyseQuantificateurs, négation, implication - de quoi lire toutes les définitions et tous les théorèmes du cours.
Partie I — Nombres réelsInégalités, borne supérieure, propriété d'Archimède, densité. 3 modules · 16 leçons
  1. 2 Inégalités, valeur absolue, partie entièreLes trois outils de calcul de toute l'analyse - majorer, mesurer une distance, encadrer par des entiers.
  2. 3 Borne supérieureLe plus petit des majorants - ce qui remplace le maximum quand il n'existe pas, et ce qui distingue R de Q.
  3. 4 Archimède, densité, irrationnelsIl y a toujours un entier plus grand, et toujours un rationnel entre deux réels.
Partie II — Suites numériquesConvergence, théorèmes de convergence, suites extraites, suites récurrentes. 5 modules · 27 leçons
  1. 5 Limite d'une suite« Aussi près que l'on veut, à partir d'un certain rang » - et comment cette phrase devient une définition.
  2. 6 Opérations, ordre et encadrementCalculer une limite sans revenir à epsilon - et savoir ce que les inégalités deviennent à la limite.
  3. 7 Suites monotones et suites adjacentesDémontrer qu'une suite converge sans connaître sa limite.
  4. 8 Suites extraites, valeurs d'adhérence, suites de CauchyRegarder une partie de la suite pour comprendre le tout - et un critère de convergence qui ne parle pas de limite.
  5. 9 Suites récurrentesQuand chaque terme se calcule à partir du précédent - formules exactes dans le cas linéaire, étude qualitative sinon.
Partie III — Limites et continuitéLimite d'une fonction, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, continuité uniforme. 4 modules · 18 leçons
  1. 10 Limite d'une fonctionLa même idée que pour les suites, avec delta à la place de N.
  2. 11 ContinuitéQuand la limite en un point est tout simplement la valeur en ce point.
  3. 12 Fonctions continues sur un intervalleTrois théorèmes d'existence - une valeur est atteinte, un maximum est atteint, une réciproque existe.
  4. 13 Continuité uniforme, fonctions lipschitziennesUn quantificateur qui change de place, et la continuité devient bien plus forte.
Partie IV — DérivabilitéDérivée, Rolle, accroissements finis, formules de Taylor, fonctions usuelles. 5 modules · 21 leçons
  1. 14 Dérivée d'une fonctionLa limite d'un taux d'accroissement - et tout ce qu'on calcule avec.
  2. 15 Rolle et les accroissements finisQuand la dérivée renseigne sur la fonction - et l'existence d'un point c qu'on ne calcule jamais.
  3. 16 Formules de TaylorApprocher une fonction par un polynôme - avec un reste qu'on majore, ou un reste qu'on néglige.
  4. 17 Fonctions circulaires réciproquesarcsin, arccos, arctan - trois fonctions nouvelles, nées du théorème de la bijection.
  5. 18 Fonctions hyperboliquesch, sh, th et leurs réciproques - une trigonométrie construite avec l'exponentielle.
Partie V — RéviserChoisir l'outil, refaire les démonstrations du cours, s'entraîner comme au contrôle. 1 module · 6 leçons
  1. 19 Réviser et s'entraînerChoisir l'outil, connaître les hypothèses, refaire les démonstrations, puis deux sujets en temps limité.