Understand

Cours · Première année post-Bac · cycle préparatoire

Algèbre 1 — S1

En algèbre, presque tous les exercices commencent par « Montrer que… ». Montrer qu'une relation est d'équivalence, qu'une partie est un sous-groupe, qu'une famille est libre, qu'une application est injective. Ce qui bloque n'est presque jamais le calcul : c'est de ne pas savoir ce qu'il faut écrire pour que ce soit démontré.

Ce cours traite chaque définition comme un outil. Que dit-elle exactement ? Quelle liste de points faut-il vérifier pour l'établir ? À quoi ressemble un contre-exemple ? Puis il retire l'aide, peu à peu, jusqu'à ce que tu saches attaquer seul un exercice de TD.

Modules
25
Leçons
123
Durée
~62 heures

Construit à partir des cours, des TD et des épreuves de première année de l'ENSAM de Meknès. Understand est indépendant de l'école.

Commencer gratuitement

Ce que tu sauras faire

  • Démontrer une égalité d'ensembles, une injectivité, une surjectivité
  • Vérifier qu'une relation est d'équivalence ou d'ordre, et décrire ses classes ou ses bornes
  • Montrer qu'une partie est un sous-groupe, un sous-anneau, un idéal ; calculer un noyau et une image
  • Factoriser un polynôme dans R[X] et décomposer une fraction rationnelle en éléments simples
  • Montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel, en donner une base et la dimension
  • Déterminer le noyau, l'image et le rang d'une application linéaire
  • Écrire la matrice d'une application linéaire, changer de base, calculer une puissance
  • Rédiger une démonstration courte et complète

Pour qui

Les étudiants de première année post-Bac (cycle préparatoire intégré, classes préparatoires, licence) qui suivent un premier cours d'algèbre. Le périmètre suit le module d'Algèbre 1 du premier semestre de l'ENSAM de Meknès, tel que le montrent les cours, les travaux dirigés et les épreuves de ces dernières années.

Ce qu'il te faut

Le programme de mathématiques du baccalauréat scientifique : calcul algébrique, nombres complexes, arithmétique élémentaire, polynômes du second degré. Le vocabulaire des quantificateurs et de l'implication est repris au fil des premiers chapitres.

Programme

Partie I — Ensembles, applications, relationsLe vocabulaire de toute l'algèbre, et les premières démonstrations. 4 modules · 21 leçons
  1. 1 Ensembles et partiesAppartenir, être inclus, et la première démonstration type - prendre un élément et le suivre.
  2. 2 ApplicationsImage, antécédent, injection, surjection, bijection - et ce qu'il faut écrire pour démontrer chacune.
  3. 3 Relations d'équivalenceTrois propriétés à vérifier - et ce qu'elles fabriquent - des classes qui découpent l'ensemble.
  4. 4 Relations d'ordreComparer sans que tout soit comparable - et chercher un « plus grand » qui ne l'est pas pour l'ordre habituel.
Partie II — Groupes, anneaux, corpsDes ensembles munis d'opérations, et les applications qui les respectent. 6 modules · 35 leçons
  1. 5 Lois de composition et groupesAvant d'appeler un ensemble un groupe, quatre vérifications - et la première est celle qu'on oublie.
  2. 6 Sous-groupes et théorème de LagrangeDeux vérifications au lieu de quatre - et pourquoi le nombre d'éléments d'un sous-groupe divise celui du groupe.
  3. 7 Morphismes de groupesLes applications qui respectent les lois - leur noyau, leur image, et quand deux groupes sont « le même ».
  4. 8 Groupe symétriquePermutations, cycles, signature - un chapitre court, qui servira pour les déterminants.
  5. 9 AnneauxDeux lois, des sous-anneaux qu'on démontre en deux lignes, et la question qui revient à chaque épreuve - quels sont les éléments inversibles ?
  6. 10 CorpsQuand tout élément non nul est inversible - Z/pZ et l'inverse modulaire, les anneaux intègres finis, les morphismes de corps.
Partie III — PolynômesDivision, racines, factorisation, fractions rationnelles. 5 modules · 20 leçons
  1. 11 L'anneau K[X]Le degré, les inversibles, et la division euclidienne - l'outil de toute la partie.
  2. 12 Arithmétique dans K[X]Pgcd par l'algorithme d'Euclide, relation de Bézout, ppcm, polynômes irréductibles - comme dans Z.
  3. 13 Racines et dérivationUne racine, c'est un facteur X − a ; sa multiplicité se lit sur les dérivées.
  4. 14 Factorisation dans C[X] et R[X]Le théorème de d'Alembert, les racines conjuguées, et la méthode qui part de l'indication de l'énoncé.
  5. 15 Fractions rationnellesPartie entière, forme a priori, calcul des coefficients - la dernière question de l'exercice 1 de chaque examen.
Partie IV — Algèbre linéaireEspaces vectoriels, applications linéaires, matrices, déterminants, systèmes. 9 modules · 38 leçons
  1. 16 Espaces et sous-espaces vectorielsVecteurs, polynômes, fonctions, matrices - une même structure, et la vérification en deux lignes d'un sous-espace.
  2. 17 Familles libres, génératrices, basesCombien de vecteurs faut-il pour tout décrire, et combien peut-on en prendre sans redondance ?
  3. 18 Sommes et supplémentairesDécouper un espace en deux morceaux de sorte que chaque vecteur s'écrive d'une seule façon.
  4. 19 Applications linéairesLes applications qui respectent les combinaisons linéaires - et les deux sous-espaces qui les résument.
  5. 20 Le théorème du rangCe que f écrase et ce que f atteint se partagent la dimension du départ.
  6. 21 MatricesUn tableau de nombres, une multiplication qui ne commute pas, et des puissances qu'on apprend à calculer sans les calculer.
  7. 22 Matrice d'une application linéaireLa même application, vue dans deux bases - et pourquoi on change de base.
  8. 23 DéterminantsUn seul nombre qui dit si une matrice est inversible - et une formule pour son inverse.
  9. 24 Systèmes linéairesUne solution, aucune, ou une infinité - et la méthode qui le dit sans deviner.
Réviser et s'entraînerChoisir l'outil, TD cumulatif, contrôle et examen blancs. 1 module · 4 leçons
  1. 25 Réviser et s'entraînerReconnaître l'outil, refaire les démonstrations du cours, puis travailler sans étiquettes et en temps limité.